今回は東大院機械工学専攻H21年の機械力学を解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
問題を解くのに必要な知識
・1自由度振動系
・PDフィ―ドバック制御
解答本文
ロボットアームが題材の問題です。計算がとにかく多いので丁寧にやっていきましょう。
東大院の機械力学の記事書くのはこれが初めてなのですが、今後ゆっくりと増やしていきたいと思っているので気長にお待ちください。
(1)アームの重心および先端の座標を求める問題
図から考えるとリンクの重心の座標は
ロボットアーム先端の座標は
(2)各リンクの運動エネルギーを考える問題
リンク1の重心の速度は
リンク2の重心の速度は
となるので、リンク1の運動エネルギーV1は
次にリンク2の運動エネルギーV2は
よって、総和Vは
となります。
(3)一般化力を求める問題
与えられた式より仮想仕事δWは
の2通りで表せる。これらを連立すると一般化力は
となります。
(4)ロボットアームの運動方程式を導出する問題
重力を考慮しないのでポテンシャルエネルギーTは
となります。これよりラグランジアンLは
まず、リンク1の運動方程式を求めていきましょう。リンク1の運動方程式は
となります。各項をゴリゴリ計算すると
なので、これらを代入するとリンク1の運動方程式は
次に、リンク2の運動方程式を求めていきましょう。リンク2の運動方程式は
となります。各項をゴリゴリ計算すると
なので、これらを代入するとリンク2の運動方程式は
となります。
(5)1自由振動系の振動数および減衰比を求める問題
1自由度振動系の運動方程式は
で表されます。与えられた式より得られる式
とこれを比較すれば、ωnおよびζは
と求まります。
(6)k1およびc1を求める問題
設問(5)の姿勢と
より
が成立します。これよりリンク1の運動方程式は式(I)より
リンク2の運動方程式は式(Ⅱ)より
設問(5)に示される姿勢のとき
なのでτ1は
以上よりリンク1と2の運動方程式を足し合わせるとロボットアームの運動方程式は
となります。M,C,Kを
とすると、設問(5)に与えられた式と同じ形になっているのでc1およびk1は
となります。
(7)PD制御下でインパルス的に入力を加えたときの振動数および減衰比を求める問題
なので
これと
より式(I)および式(Ⅱ)は
となります。これらを足し合わせるとロボットアームの運動方程式は
これに
を代入すると、
ここで
とすると
となり、設問(5)で与えられた式と同じ形になるので、振動数ωn'および減衰比ζ'は
となります。
以上で解説は終わりです。最後まで読んでくれてありがとうございました。
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