今回は東大院機械工学専攻平成24年材料力学IIを解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
問題を解くのに必要な知識
・主応力
・主せん断応力
解答本文
主応力を求める過程を問う問題です。材力に限ったことではないですが、このような出題がなされた際に対応できるように公式は結果を覚えるだけでなく導出も含めて押さえておくことが重要です。
(1)-(a)垂直応力成分およびせん断応力成分を求める問題
図1-3から下図のように三角形ABCと切り出して考えます。ここで板厚は1、ACの長さをdsとします。
水平方向の力のつり合いより
鉛直方向の力のつり合いより
これらをdsで割ると
式(I)×sinθ+式(Ⅱ)×cosθより
式(I)×cosθ-式(Ⅱ)×sinθより
(1)-(b)せん断応力成分が0となるθを求める問題
式(Ⅳ)からせん断応力成分が0となるときのθ1をすると
が成立します。なのでθ1は
tan2θは2θがπ動いたときも同じ値をとるのでθが
のときもせん断応力成分は0になります。よってθ1とθ2が求めるθの値になります。
(1)-(c)主応力を求める問題
式(Ⅲ)をθで微分すると
なので
となるときのθをθpとすると
問(1)-(b)と比較するとせん断応力成分が0になるとき主応力が生じるとわかります。上の式から
を得ます。これと
から
次に
以上よりsin2θpおよびcos2θpは
と得られます。θpの値によってsinθpとcosθpの組み合わせは4種類考えられますが、その中で式(V)をみたすものは
と
の2通りとなります。これを式(Ⅲ)に代入すれば主応力σは
σ1>σ2より
(2)-(a)引張応力およびせん断応力が最大となる面の方向を求める問題
図1-4のようにトルクが加えられたとき、丸棒の表面における応力状態は下図のようになります。なのでせん断応力τxyは
となります。
符号が負になる理由は以下の記事の中に書いてあるので見てください。
斜面に生じるせん断応力τは式(Ⅳ)から
なので最大せん断応力τmaxは
このときのθはθ=π/2と求まります。次に主応力は式(Ⅷ)および式(Ⅸ)から
となります。よって最大引張応力は
であり、その時のθは式(Ⅴ)からθ=π/4と求まります。以上より応力とその生じる面の方向を図示するとそれぞれ下図のようになります。
(2)-(b)破断形状を図示する問題
チョークは最大主応力説に従うので、下図のように水平方向からθ=π/4の面から破壊します。
金属は最大せん断応力説に従うので下図のようにθ=0もしくはθ=π/2の面から破壊します。θ=0の面に生じるせん断応力は問(2)-(a)から最大せん断応力τmaxと符号が違うだけ、つまり方向が異なるだけなのでこの面も含めて考えています。
チョーク、金属の破断面も平坦ではなく、エッジがみられます。
以上で解説は終わりです。最後まで読んでくれてありがとうございました。
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