今回は東大院機械工学専攻平成24年流体力学Iを解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
問題を解くのに必要な知識
・連続の式
・境界層方程式
解答本文
ちょくちょく出ている境界層の問題です。下記の記事
でも書きましたが東大院で境界層は頻出分野でした。この記事は2020年の問題を手に入れる前に書いた記事なのでH27以降は出ていないと書きましたが2020年に出題がありました。今後もちょくちょく出るかもしれないので確実にできるように練習しておきましょう。ちなみに僕はこれを繰り返しやって覚えていました。出たら同じやり方で確実に解けて儲けもんなので覚えるのをおすすめします。
(1)境界層内の運動方程式を求める問題
連続の式およびナビエ・ストークス方程式をそれぞれ
とします。ここから式(I)～(III)の各項のオーダーを評価していきます。
まず、式(I)の各項のオーダーは
ここで、この項のオーダー同士は同程度でなければならないのでvのオーダーは
となります。よって連続の式の項のオーダーは両方とも
となります。
次に式(II)について考えていきます。慣性項についてオーダーを考えると
粘性項のオーダーは
最後に式(III)について考えます。慣性項のオーダーを考えると
粘性項のオーダーは
ここで
と式(II)の各項のオーダーが
であることを考慮すると式(III)の中で寄与を考慮すべき項は右辺第1項の圧力項のみであることがわかります。よって式(III)は
となり、境界層内ではy軸方向の圧力勾配がないことがわかります。次に
より
が成立するので
と近似できます。以上より式(II)は
よって境界層内の運動方程式は式(IV)と式(V)となります。
(2)排除厚さの意味を問う問題
λは境界層の粘性によって排除された流量を主流の流体に換算した場合の厚さを表します。これを排除厚さといいます。
乱流のときのλは与えられた時間平均速度の分布を利用して計算すると
(3)境界層外縁と境界層内の圧力分布を求める問題
境界層の境界付近ではuは主流速度Uに近付くため方向の変化はありません。つまり
式(IV)より境界層内ではy軸方向の圧力勾配はないので、境界層内の圧力勾配と境界層の境界における圧力勾配は等しくなります。よって
が成立します。式(V)、式(VI)、式(VII)を考慮して境界層方程式を境界層の境界の主流に適用すると
が成立します。これは
と変形でき、この両辺を積分すれば
となるので境界層外縁の圧力はベルヌーイの式で与えられる。
以上より境界層内の圧力勾配は
x方向:主流速度のx軸方向の勾配によって決まる
y方向:圧力勾配はない
とわかります。
以上で解説は終わりです。最後まで読んでくれてありがとうございました。
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