今回は東工大院機械系専攻平成26年熱力学・伝熱工学の大問2を解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
この問題を解くのに必要な知識
・定常熱伝導
・フーリエの法則
・ニュートンの冷却法則
解答本文
この問題ですが座標軸の取り方が微妙にいやらしい感じなので気を付けたいところです。普通は熱が流れる方向(この問題なら左向きを正とするのが一般的)を正としますがこの問題は座標の取り方が逆です。そのため普段通りに解いていると痛い目見ることになります。明らかな引っかけですので引っかからないように座標には注意しましょう。
見落としがちかもしれないので注意しとくと熱流束はベクトル量です。大きさだけでなく向きもあります。
(1)断面積を求める問題
円すい台の直径D(z)は明らかにzの一次関数で
となります。なので断面積A(z)は
(2)フーリエの法則を用いる問題
フーリエの法則よりzの位置の伝熱量において
が成立します。これに式(I)を代入するとQは
この式を見ると明らかにQ<0ですが右向きを正としているので正しいです。熱は左向きに流れます。
(3)ニュートンの冷却法則を用いる問題
ニュートンの冷却法則より
となります。これよりT2は
となります。
としないように注意。高温側の温度から低温側の温度引くだけでしょ？簡単じゃんとか適当にやってると間違います。あれは熱が流れる方向を正としているからそうなってるだけで、本問はわざわざ逆向きを正としているのでつじつまを合わせるために低温側の温度から高温側の温度を引く必要があります。
(4)微分方程式を解く問題
z≠0なので式(II)を変形すると
定常熱伝導なのでQは一定なので定数として扱えます。誘導のとおりに任意の位置まで積分してやるとT(z)は
(5)熱流束を求める問題
正直問題の意味がよくわかりませんが、答えは式(III)よりqを求めて面2の面積をかけるだけです。
(6)ほぼほぼ計算するだけの問題
式(IV)に式(V)を代入すれば
となります。ここで
より
と変形します。双曲線の係数は負なので温度分布は(c)となります。
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