今回は東工大院機械系専攻平成26年流体力学の大問2を解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
この問題を解くのに必要な知識
・流量と流速分布の関係
・連続の式
・ハーゲン・ポアズイユ流れ
解答本文
①&②連続の式を用いる問題
円筒方向の①連続の式は流れがz方向成分のみを有することから
となります。
③&④&⑤ナビエ・ストークス方程式を用いる問題
また③ナビエ・ストークス方程式から項を消去していくとpはθ,rによらないのでz方向の圧力勾配は④粘性力とつり合います。よって
が成立します。当たり前ですがこれらのことは圧力pが⑤zのみの関数であることを示してます。
⑥微分方程式を解く問題
となります。r=0でuzが収束するためにはC1=0である必要がなります。次にr=R1でuz=0よりC2は
となるのでuzは
⑦流速分布から流量を求める問題
流量Qは式の通り計算すれば
となります。
⑧ただの知識問題
この流れは⑧A : ハーゲン・ポアズイユ流れです。
⑨微分方程式を解く問題
積分定数をC3、C4として式(2)を積分した結果は式(I)の積分定数のC1をC3、C2をC4と置き換えたものになるから
ここでr=R2でuz=0なので
r=R1でuz=0なので
となります。(IV)-(V)とα≠1より
これを式(V)に代入するとC4は
なのでuzは
⑩流速分布から流量を求める問題
アホみたいにゴリゴリ計算しましょう。ちなみに検算とかしてないので各自でチェックお願いします。二重円筒間の流量Qは
ここで
なので流量Qは
となります。地味にα≠1より(α^2-1)でくくれるのでくくってあげても綺麗ですがあえて展開した状態で書いときました。
⑪以上の結果から計算するだけの問題
式(III)と式(VII)を連立すれば内側円筒と二重円筒間の流量が等しくなる条件は
になります。合ってるかどうかは知りませんが一応左辺にα=1.81を代入すると0.001334816…とほぼ0になるんでいいんじゃないかなと思います。
以上で今回の記事は終わりです。最後まで読んでくれてありがとうございました。
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