今回は東大院機械工学専攻平成19年材料力学を解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
問題を解くのに必要な知識
・たわみの微分方程式
・重ね合わせの原理
解答本文
梁の基本的な問題です。誘導に乗って丁寧に解いていけば苦労しないと思います。
(1)反力Rの向きを答える問題
反力Rは梁および支持棒に対して下図のように作用します。
(2)B点の梁のたわみをRを用いて表す問題
B点のたわみδは支持棒の縮みと等しいので
となります。
(3)支持棒がない場合のB点のたわみを求める問題
A点およびC点の反力をそれぞれRA、RCとします。
力のつりあいより
A点周りのモーメントのつり合いより
これらよりA点およびC点の反力はそれぞれ
次に座標値xの断面で梁を切断し、断面に生じる曲げモーメントMを求めていきます。
0≦x≦aのとき断面より左側の部分の部分においてモーメントのつり合いより
が成立します。これよりMは
次にa≦x≦lのとき断面より右側の部分の部分においてモーメントのつり合いより
が成立します。これよりMは
これらより梁ACのたわみの微分方程式は
に上で求めたMを代入すると
ここでx=0のときy=0よりC3は
x=lのときy=0よりC4は
よりC2は
これと境界条件
からC1は
これを式(Ⅱ)に代入してC2は
以上よりたわみ曲線の式は
と求まります。支持棒がないときのB点のたわみyB1はx=aを代入すると
となります。
(4)Rのみが梁に作用するときのB点のたわみを求める問題
反力Rのみが梁に作用しているときのたわみ曲線は問(3)のたわみ曲線の式においてP→-R、a→cとすれば得られます。0≦x≦cの部分のみを書くと
B点のたわみyB2は上の式においてx=cとすれば
と得られます。
(5)重ね合わせの原理によって反力Rを求める問題
重ね合わせの原理からδはyB1とyB2の和になります。
これに求めた値を代入すると
これから反力Rを求めると
となります。
(6)B点の変位が最大になるaの値を求める問題
式(I)からB点のたわみはRが大きいほど大きくなります。式(Ⅲ)よりRが最大になるとき
が最大になるとわかります。これをf(a)とするとdf(a)/daは
f(a)が最大となるとき
なのでこれを解くとB点のたわみが最大となるaの値は
と求まります。
以上で解説は終わりです。最後まで読んでくれてありがとうございました。
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