【院試解答】東大院機械工学専攻H29熱力学I - 意識他界系大学院生のクソブログ

今回は東大院機械工学専攻平成29年熱力学の大問Iを解説したいと思います。

ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。

なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。

問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。

問題を解くのに必要な知識
解答本文

問題を解くのに必要な知識

・サイクル

・断熱過程

・等温過程

・分子運動の自由度と比熱比の関係

・オットーサイクル

解答本文

熱力学に関する小問集合といった感じですが、(4)では統計力学が出題されています。一応解答は載せておきますが、この分野はあんまり出なくて対策のコスパが悪いのでスルーでもいいと思います。僕も一切対策しませんでした。おそらく皆そうだと思うので出たら潔く捨てるのをおすすめします。

(1)理論上ありえないサイクルを選択する問題

冷静に考えれば余裕で解ける問題です。一つずつ丁寧に検討していきましょう。

まず、熱力学第2法則からサイクル1周において吸熱する過程と放熱する過程が必要です。このことを念頭においてサイクルを見ていくと(c)は等圧過程で、(d)は等温過程で吸熱は行っていますが、放熱していないのでこれらはありえません。これはT-s線図を描いてみるとわかりやすいです。

断熱過程は熱のやり取りがないため、T-s線図ではs軸に垂直な直線になります。なので断熱過程が2つある時点で他の一つのプロセスだけでは上の図のように閉じることができず、サイクルが成立しないというわけですね。まあ、そもそも同じ点を通っているのに断熱過程の曲線の勾配が異なっているのもどうなんだという感じですが。

次に（a）のサイクルもありえません。なぜならP-v線図において等温過程の曲線の傾き＞断熱過程の曲線の傾きとなっているからです。この場合、理論的には断熱過程の曲線の傾き＞等温過程の曲線の傾きとならなければなりません。断熱過程では温度変化が起こるため下図のように異なる等温線を通る曲線となるからです。このため必然的にグラフの傾きは等温過程のものよりも大きくなります。

最後に(b)ですが、ちゃんと断熱過程の曲線の傾き＞等温過程の曲線の傾きとなっていますし、等温過程で放熱、等積過程で吸熱も行っているので理論的に特に問題ありませんね。

以上より理論的にありえないものは(a)、(c)、(d)の3つとわかります。

(2)混合ガスの等エントロピー過程における関係式を証明する問題

等エントロピー過程なので熱力学第1法則より

が成立します。ここで

なので

となります。次に理想気体の状態方程式より

両辺を微分して

なのでdTは

よって式（Ⅰ）は

これを変形して

これは理想気体におけるマイヤーの関係式

を用いれば

と変形できますね。さらにここで

から

となります。この両辺を積分すると

となって等エントロピー過程における関係式が示せました。

次に混合ガスの比熱比を求めていきます。ここでは分子運動の自由度νと比熱比κの関係

を用います。下のH19年の熱力学の記事でも書きましたが、これちょくちょく使うので覚えてください。

さて、さっそくこの関係式を使ってそれぞれの比熱比を求めていきましょう。ヘリウムは単原子分子なので分子運動の自由度は3です。なので比熱比は

次にO2は2原子分子なので分子運動の自由度は5です。なので比熱比は

となります。ここで

であることに注意して混合ガスの定積比熱を求めると

となります。これと式（Ⅱ）の関係式から定圧比熱は

以上より混合ガスの比熱比は

と求まります。

(3)オットーサイクルの熱効率について考える問題

オットーサイクルの熱効率を求める問題です。東大院ではこの年度の他にH19、H26、H30とよく出ていますね。おそらくですが、断熱過程があるので断熱過程の関係式の証明とか、熱効率の式が単純なうえに比熱比が含まれているので分子運動の自由度と比熱比の関係を使う問題を簡単に作れるのが大きそう。問題が作りやすいんでしょうね。

前置きは置いといて、さっそく解いていきます。

まず、オットーサイクルのP-v線図およびT-s線図は下図のようになります。