今回は東大院機械工学専攻平成26年流体力学の大問Iを解説したいと思います。
ガバガバなところがあったり間違っているかもしれませんが解答の参考にしてください。
なお問題をそのまま載せるのは権利の都合上まずいと思うので載せません。
問題が欲しいという方はコメントするかtoriatama321@gmail.comに連絡してください。
この問題を解くのに必要な知識
・連続の式
・運動量の法則
・曲がりによる損失
解答本文
この問題ですが後半はぶっちゃけ自信ないです。まあ前述したとおり参考程度にしてください。
(1)連続の式を使う問題
連続の式から
なのでV3は
となります。
(2)運動量の法則を使う問題
図2－2の検査体積において水平方向の運動量の法則は右向きを正とすれば
となるのでp3-p0は
となります。
(3)ベルヌーイの定理を使う問題
混合部出口での全圧p3^t,ノズル出口での全圧p1^tはそれぞれ
なのでp3^t-p1^tは(2)の結果を用いて
となります。
(4)流体の混合について考える問題
第1流体は第2流体により引っ張られ速度が低下します。混合部でのエネルギーは保存されているので入口部と出口部でのエネルギーの関係を考えると圧力エネルギー、つまり静圧は上昇します。全圧は第2流体から引っ張られるせん断応力によって減少します。以上より静圧は上昇し、全圧は低下するということになります。
(5)連続の式やベルヌーイの定理を用いる問題(発展)
p3^t-p2^tは(2)と同様に考えて
となります。次に
なのでp2^tは
となります。これらよりp3^tは
なのでp3^t-ps^tは
となります。ノズル内のエネルギーは保存されているのでpn^t=p1^tとなります。
これを用いるとpn^t-p3^tはp1^t-p3^tに等しいとわかるので(3)の結果を用いてpn^t-p3^tは
となります。これと連続の式より
なのでηは
となります。
(6)曲がり損失について考察する問題(難問)
K=0の曲がりによる損失がない場合から考えます。この場合の損失は壁面摩擦を無視しているので速度差によって生じる流体間のせん断による損失のみとなります。この損失は速度差が小さいほど、つまり速度比が大きいほど小さくなるので効率は図のように単調に増加していきます。
次にKを考慮する場合について考えます。このときは曲がり部における遠心力による影響を無視することができないので管路内に渦が発生します。よって混合部でのエネルギ―伝達過程においてせん断による損失に加えて渦による損失を考慮する必要があります。
速度差が小さい場合にはエネルギーの多くが渦を発生させることに費やされてしまうので速度比が大きいほど効率は低下します。
これと先述したせん断による効率の上昇効果によって図2－3に示されるような効率が極大となる速度比が存在することになります。
Kが大きくなれば遠心力は大きくなり、より大きな渦が発生するために効率の低下を招くことになります。
以上の理由からKの値によってポンプ効率と速度比の関係は変化するということになります。
こんな感じです。正直(6)とか自信ないですが参考になれば幸いです。(5)の結果をグラフにして速度比を動かしてみると問題で与えられている形と一致するので(5)までは合っていると思います。
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