どうもSNです。
今回の記事は材料力学の重ね合わせの原理(以下重ね合わせと言ったり言わなかったりします)についてです。本記事の目次は以下になります。
今回の記事の内容
重ね合わせの原理についてといっても重ね合わせで本記事では問題を解くわけではなく、重ね合わせの原理で使う公式(たわみやたわみ角に関するもの)の紹介や導出、使えるようになるとどのような嬉しいことがあるのか？ということを簡単に書いていこうと思っています。実際に重ね合わせを使って問題を解く記事もそのうち書く予定です！
今回の記事は重ね合わせの原理はいいぞ！的な記事なのでもうすでにバリバリ重ね合わせ使ってるぜ！って人はこの記事は吹っ飛ばしても問題ないです。
重ね合わせの原理で使う公式
さて、はりの問題を重ね合わせを用いて解いていくときは以下のたわみ及びたわみ角の公式を使います。(これらを覚えてるのは大した負担にならないので覚えておいた方が良いと思います。)
こんなのもう知ってるよという方も多いと思いますが導出過程を下に示しておきます。試験で重ね合わせを使って問題を解くときには念のため導出過程も書くことをおすすめします。いきなり集中荷重Pが自由端に作用する片持ちはりの自由端のたわみは～とかって書くと減点されかねないと思うので。
公式の導出
さて、以下に上で示したたわみ及びたわみ角の公式の導出を書いていきます。
まず下図のように自由端に集中荷重Ｐ、モーメントＭ0、全長にわたって分布荷重qが作用する長さlの片持ちばりを考え、自由端に向かう方向を正とする水平なx軸をとります。
固定端からxの位置の断面に生じる曲げモーメントMは、断面より右側の部分におけるモーメントのつり合いより
となる。はり全体に貯えられる弾性ひずみエネルギーをUとするとカスチリアノの定理より(下で示す変形は計算量を減らせて便利ですのでできるようにしておくと良いです。詳しくはここを参照)自由端におけるたわみδとたわみ角θはそれぞれ
となります。あとはlをLと置き換えてＰ、Ｍ0、qのいずれか2つを0としてあげれば上で書いたたわみとたわみ角の公式が得られます。
僕はこんな感じで毎回導出過程を書いてました。(実際はもう少し曲げモーメントを求める過程のとことか省略してましたが)
この導出過程は慣れると5分もかからずに書けてそこまで負担にならないんで書くことをおすすめします。ここではP、Ｍ0、qがかかっている片持ちばりを考えましたが、もちろん問題を見て今回はqは使わないな～と思ったらP、M0だけでもいいです。そこらへんは臨機応変に設定を変えてください。
重ね合わせの原理の良い点
さてここまでで重ね合わせの原理に使う公式とその導出過程を書いてきましたが、最後に重ね合わせを使えるようになると何がいいの？ということを僕なりに簡単に書いていこうかなと思います。
僕が思う重ね合わせが使えるようになると嬉しい点は次の2つです。
①問題を非常に簡単に解ける場合がある。(計算量も少なくて速く解ける)
②他の方法で求めたたわみやたわみ角の検算ができる場合がある。
もちろんすべての問題に言えるわけじゃないですが解法の幅が広がりますし、なにより検算ができる場合があるのは嬉しいですよね！もし検算を行って値が一致すれば自分の解答に自信が持てるのでメンタル的にもプラスに作用すると思います。これらのことから重ね合わせの定理を習得しておいて損はないと僕は思います。
以上が重ね合わせの原理のすゝめでした！いつものことですがグダグダな記事で申し訳ないｗ
そのうち重ね合わせで問題を解く記事も書くつもりなのでよろしくお願いします。
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