どうもSNです。今回の記事はカスチリアノの定理を用いるときの計算テクニックについてです。記事にするほどでもないかな～とも思ったんですがもしかしたら誰かの役に立つかもしれないので記事にすることにしました。記事の目次は以下の通りです。
この記事の内容
突然ですがカスチリアノの定理ってマジで便利です！初めて見たときはクリスティアーノｗｗｗｗｗｗｗｗとかいって馬鹿にしてましたが院試の材力では必須と言えるレベルで重要な定理です。
これの使い方についての説明はどうせ他の過去問解説(マイペースにやっていく予定です)の時とかに散々使うのでその時で良いかなと思っています。
今回は使い方は一旦おいといて冒頭でも言った通り計算を楽にする計算テクニックの話をしていきます。
前置きが長くなりましたがさっそくやっていきましょう。
本題の計算テクニック例
さて、さっそくですが下図のように自由端に集中荷重Ｐ、モーメントＭ0、全長にわたって分布荷重qが作用する長さlの片持ちばりの自由端のたわみ角やたわみを求めたいとします。(例としてちょうど良いのでここのを流用しました)
この片持ちばりの断面に生じる曲げモーメントMは、断面より右側の部分におけるモーメントのつり合いより
となるのは大丈夫だと思います。カスチリアノの定理を用いてたわみδやたわみ角θを求めるには
の関係よりまず弾性ひずみエネルギーUを計算してからその結果をPやM0で偏微分することになるわけですが、ここで弾性ひずみエネルギーにはMの2乗が含まれていることに気が付きます。Mは項が3つなので2乗したら項が6個になります。これを計算するのはめんどくさいですしなにより計算ミスしそうで怖いですよね。(項が多いと式を整理する過程で符号や書き写しのミスが出るのは計算ミスあるあるだと思います)
ここでこの記事の本題である計算量を減らすテクニックが役に立ちます。まずたわみδについてやってみましょう。上で示した
を次のように変形します。
数学科とかの人が見たら微分と積分の順序をそんな軽いノリで変えるな！とか言いそうな変形ですがまあ工学部なので許してください。ここで
なので結局δは
となって項を3つのままにできますね。どうでしょう？バカ正直に2乗して6つの項の計算を行うのに比べてだいぶ楽になりますね。この後は(l-x)の累乗は展開しないでそのまま積分していけば次のようにδが得られます。
(l-x)などの累乗をそのまま積分すると楽な場面も結構あるのでできるように練習しておくといいと思います。
次にθについても考えましょう。δと同様に
を
と変形します。ここで
よりθは結局
となってこちらもだいぶ楽な計算になりましたね。これも同様に(l-x)の累乗のところは展開しないでそのまま積分するとθは
となります。
と、いうわけで今回は計算のテクニックを紹介しましたがいかがだったでしょうか。このテクニックを使うと計算が楽になるので計算ミスしにくくなるのでおすすめです！ぜひ材力の問題を解くときに活用してみてください！
それでは以上で今回の記事を終わりたいと思います。見てくれてありがとうございました！
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